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Sobre extremos relativos o locales de funciones reales de tres variables reales

Resumen: Generalmente en las bibliografías que tratan el Cálculo Diferencial de funciones de varias variables pues al abordar la teoría de extremos locales de tales funciones solo hacen referencia al caso de dos variables independientes.

Publicación enviada por Alejandro Martínez Castellini




 


INTRODUCCIÓN
Generalmente en las bibliografías que tratan el Cálculo Diferencial de funciones de varias variables pues al abordar la teoría de extremos locales de tales funciones solo hacen referencia al caso de dos variables independientes. Con este documento tengo el objetivo de ilustrar algunos ejemplos de resolución de ejercicios de búsqueda de puntos de extremo local para funciones de tres variables independientes por lo que solo abordaré el caso de extremos no condicionados o sea de extremos libres.

OBJETIVOS
1) Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados con los extremos de funciones de varias variables.
2) Ilustrar mediante la resolución de ejercicios cómo determinar puntos de extremo local de una función real de tres variables reales diferenciables.

DESARROLLO
Recordemos algunos aspectos teóricos esenciales.

 ¿QUÉ CONCEPTOS ENGLOBAMOS EN LA CATEGORÍA EXTREMOS?
- Pues a los máximos y mínimos.

¿QUÉ ES UN PUNTO DE EXTREMO ABSOLUTO O GLOBAL SOBRE UN CONJUNTO A PARA UNA FUNCIÓN REAL DE N VARIABLES REALES?
Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A.

En símbolos:


¿Y CUÁNDO HABLAMOS DE PUNTOS DE EXTREMO LOCAL O RELATIVO?
Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en los demás puntos de A.



En símbolos:


Ejemplos:
El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por:


El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por:


Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.



Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local.

¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local?

Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices.

Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A.

Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local)
Sea una función con segundas derivadas parciales continuas en el punto estacionario

Sea la matriz llamada Hessiana de:


IIc Hessiana de en . Entonces:
a) Si todos los valores propios de M son positivos es un punto de mínimo local.
b) Si todos los valores propios de M son negativos es un punto de máximo local.
c) Si todos los valores propios de M son no negativos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local.
d) Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local.
e) Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno nulo entonces no es un punto de extremo local

Nota: Este teorema puede ser enunciado en términos del determinante de la matriz Hessiana y sus menores principales

A continuación muestro algunos ejemplos en cada uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo local de una función polinomial en por lo que ya tenemos garantizado que:
- El dominio de la función es todo
- La función es diferenciable por lo que los únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios pues no habría extremos locales.

a)

En este caso


Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:


Este sistema es compatible determinado y su solución es (1;1;-1).
Investiguemos el cumplimiento de las condiciones suficientes conformando la matriz Hessiana.


Esta matriz es diagonal por lo que sus valores propios son sus entradas o elementos diagonales. Como los valores propios son no nulos y de diferente signo pues el punto estacionario encontrado no es un punto de extremo local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos de extremo local se denominan puntos de ensilladura.

b)

En este caso

Resolviendo el sistema compatible determinado obtenemos el punto estacionario.


La matriz Hessiana es cuyos valores propios son todos iguales a 2 por lo que el punto es un punto de mínimo local.

c)

En este caso


Tenemos que resolver el sistema el cual tiene exactamente dos soluciones las cuales son . Las matrices Hessianas son .

Los valores característicos de son 6,4 y 16 mientras que los de son -6,4 y 16 por lo que el primero de los puntos estacionarios es un punto de mínimo local y segundo no es ni de mínimo ni de máximo.


Te proponemos investigues en los incisos siguientes la existencia de extremos locales.
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)

Considero conveniente resaltar que en muchos casos la investigación del cumplimiento de estas condiciones suficientes no son muy recomendables debido a la complicación algebraica de la expresión analítica de la función.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los valores propios sea nulo pues para poder decidir habría que recurrir a otros recursos entre los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su vez involucran derivadas parciales de orden superior al segundo.

CONCLUSIONES
Con este material he pretendido mostrar cómo ciertos resultados que se tienen para funciones reales de dos variables reales y que tienen que ver con la determinación de puntos de extremo local se pueden extender a mayor número de variables.alexmc@uci.cu

Desarrollo
AUTOR
Alejandro Martínez Castellini
Universidad de Ciencias Informáticas
Facultad 7
La Habana
- 2007-



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