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Sobre integrales indefinidas

Resumen: Es tradicional que los estudiantes de Cálculo manifiesten dificultades en el aprendizaje de las integrales indefinidas. La causa fundamental radica en que no existe procedimiento algorítmico para solucionarlas todas sino que se requiere de mucha práctica.

Publicación enviada por Alejandro Martínez Castellini




 


INTRODUCCIÓN
Es tradicional que los estudiantes de Cálculo manifiesten dificultades en el aprendizaje de las integrales indefinidas.
La causa fundamental radica en que no existe procedimiento algorítmico para solucionarlas todas sino que se requiere de mucha práctica.

OBJETIVOS

1) Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados con los extremos de funciones de varias variables.
2) Ilustrar mediante la resolución de ejercicios una propuesta de cómo proceder para descubrir el éxito en el cálculo de integrales indefinidas.

DESARROLLO
Estudiante, como verás a lo largo del primer semestre de este curso te verás necesitado de aplicar sistemáticamente en la asignatura M3 el cálculo de integrales indefinidas, definidas e impropias. Por este motivo te ofrecemos un resumen a modo de recordatorio en relación a determinados aspectos relacionados con las integrales indefinidas así como una colección de ejercicios de los distintos tipos de integrales estudiados en M2.

Recordemos que cuando hallamos la integral indefinida de una función pues esa operación siempre hay que considerarla realizada sobre cierto intervalo
I el cual rara vez se da en forma explícita. Si esta función se designa por entonces buscamos ciertas funciones F las cuales son diferenciables en tal intervalo y tales que  F´(x)=f(x)  para todos los puntos de dicho intervalo. Cada una de tales funciones se denomina primitiva de la función en el intervalo considerado y entre dos primitivas de la función en dicho intervalo pues la diferencia es a lo sumo una función constante y esto último es lo que justifica una escritura tal como:
.

A diferencia de la diferenciación (basta conocer las derivadas de las funciones elementales básicas y las reglas de derivación para las funciones que resultan de realizar operaciones aritméticas y de composición sobre tales funciones) pues en la integración indefinida no existen reglas generales para el cálculo de integrales.

No obstante lo expresado anteriormente el integrando y sobre todo la práctica sistemática sugiere aplicar tal método de integración según sea el integrando.

De lo que se trata es de tener disponibles nuestros recursos aritméticos y heurísticos para descubrir cuál debe ser la clave de éxito.

¿A cuáles recursos me refiero?
- Reglas de integración.
- Métodos clásicos de integración:
   -Integración por sustitución.
   -Integración por partes.
   -Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
- Uso de tablas

¿Qué metodología te recomendamos seguir?

1) Analiza si la integral está incluida en la lista de integrales declaradas como inmediatas. De ser así pues halla el resultado en la tabla y si no pues valora la posibilidad de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna transformación algebraica o simplificación del integrando.

2) Clasifica el integrando en racional (a su vez en propia o impropia) o no racional.

Si es una fracción propia y es una fracción simple pues procedes como corresponda según el tipo de fracción simple.

Si es una fracción racional propia no simple pues (excepto en casos excepcionales) procede a descomponer en fracciones simples y luego como en el inciso anterior.

Si la fracción es racional impropia efectúa la división para transformarla en la suma de un polinomio y una fracción racional propia.

3) Si el integrando no es racional(es algebraico irracional o en caso contrario, trascendente) valora la posibilidad de aplicar alguna sustitución o el método de integración por partes y así obtener directamente el resultado o en su defecto por lo menos reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de integrales.

Resumen de algunas reglas de integración.


Ejemplo:
Resolver la integral


No reconozco esta integral como una integral del grupo de integrales inmediatas mas el integrando es la suma de tres funciones. Pienso entonces en aplicar la regla I) lo cual permite calcular por separado las 3 respectivas integrales.



¿Qué transformaciones algebraicas y qué reglas se usaron?

La integral no es inmediata ni se me ocurre transformación algebraica ni sustitución alguna al menos en principio. El integrando es trascendente y tiene forma de producto por lo que quizá nos sea útil la fórmula III).

La elección que supongo conveniente es:


El integrando no está en mi tabla de inmediatas pero es una fracción racional impropia por lo que se ocurre dividir y se obtiene a partir de reconocer el cociente y el resto:


Nota: Se pudo haber calculado la integral teniendo en cuenta que el integrando es una fracción racional propia la cual no es simple por lo que se descompone en fracciones simples.



Termine usted el ejercicio por esta vía y compare los resultados.
En modo alguno este material pretende dar indicaciones de carácter algorítmico para resolver una integral indefinida (ya que es imposible) sino ilustrar cómo mediante razonamientos heurísticos podemos descubrir la clave del éxito.

Solo con estudio y práctica sistemáticos podrás llegar a tener éxito por lo que te proponemos una selección de ejercicios.

Primero te recordaremos una alternativa de integrar las fracciones simples.


Ejercicios.
Resuelva las integrales indefinidas siguientes.



CONCLUSIONES

Con este material he pretendido mostrar cómo podríamos proceder para resolver una integral indefinida.

Insisto en que:
Solo con estudio y práctica sistemáticos podrás llegar a tener éxito por lo que te proponemos una selección de ejercicios.

AUTOR

Alejandro Martínez Castellini
alexmc@uci.cu

Universidad de Ciencias Informáticas
Facultad 7
La Habana - 2007



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