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La Resolución de Problemas y el Pensamiento Matemático Divergente

Resumen: Aquí se plantea someramente como la educación matemática ha ganado espacios y como la comunidad investigadora tiende a enfocar aspectos puntuales de la enseñanza de la matemática, con resultados coincidentes, respecto a la potencialidad humana de desarrollar algunas capacidades especificas de razonamiento que antes se creían propias de seres dotados genéticamente con cerebros matemáticos.

Publicación enviada por Lic. Iliana Y. Rodríguez




 


RESUMEN
Este artículo tiene como propósito explorar algunos avances de la investigación en educación matemática respecto al desarrollo del pensamiento matemático divergente como producto de la implementación de técnicas heurísticas y alternativas didácticas en la formación de ciudadanos con sentido matemático natural y cotidiano. 

Aquí se plantea someramente como la educación matemática ha ganado espacios y como la comunidad investigadora tiende a enfocar aspectos puntuales de la enseñanza de la matemática, con resultados coincidentes, respecto a la potencialidad humana de desarrollar algunas capacidades especificas de razonamiento que antes se creían propias de seres dotados genéticamente con cerebros matemáticos. 

INTRODUCCIÓN 
La humanidad del siglo XXI vive una circunstancia en la cual la democratización de la matemática desempeña un papel importante que hace la diferencia, respecto a otras épocas, en relación al desarrollo del conocimiento colectivo. Es por ello, que se considera la formación matemática fundamental en toda sociedad que pretenda alcanzar un nivel aceptable del desarrollo de sus recursos humanos, científicos y técnicos. 

Además de esta verdad aceptada universalmente, la formación matemática es considerada necesaria en todos los niveles educativos y para toda la masa poblacional de un país para alcanzar niveles de razonamientos mínimos que permitan la interpretación e interacción con el cambiante mundo científico-tecnológico de la sociedad global.

Sin embargo, a pesar de la prioridad alcanzada por los contenidos matemáticos dentro de la educación y la sociedad actual, la matemática ha sido y continúa catalogada como una de las áreas de estudio más desagradable y difícil según la opinión de la mayoría de los educandos. Pareciera ser aceptado universalmente que las personas que entienden matemática son diferentes y que pertenecen a una elite de privilegiados con un don especial. 

Claro que éste es un juicio derivado de la experiencia de haber sido estudiantes no exitosos de matemática sin darse cuenta de que una de las barreras que los separan del éxito de esta disciplina, de su aprendizaje y de su enseñanza, es precisamente, este tipo de predisposición y opinión negativa.

Quizás, en esta actitud, se está percibiendo la matemática como una ciencia abstracta y estática, basada en fundamentos absolutos, cuya única forma posible de representación es mediante expresiones formalizadas, fruto de un razonamiento deductivo impecable, en un manejo de signos y símbolos complejos y confusos y en la que sólo los grandes matemáticos les es permitido inventar, ensayar y construir. 

Por tanto, una matemática de esa naturaleza, ya hecha e intocable, lógicamente debería transmitirse de la misma forma en que se recibe, so pena de traicionarla y desfigurarla. La didáctica de la matemática que se deriva de ésta concepción es simple: El contenido en un código indescifrable, el docente debe ser un expositor repetidor fiel de ese contenido matemático; y el alumno, un sujeto reproductor de lo recibido. 

Pues bien, este enfoque simplista esta en franco cuestionamiento. Actualmente se considera la matemática un proceso de construcción humana como respuesta a la tarea de resolver problemas y, como tal, fruto de un proceso cultural, imposible de ser separada del contexto histórico y social en que se elabora. Por ello, como construcción humana, también es considerada falible e imprecisa. 

Entenderla de esta forma, como un proceso perfeccionable y no como un producto elaborado y formal que hay que transmitir con rigor, es determinante para comprender la matemática y para trabajarla en el aula. En consecuencia esta disciplina debe ser considerada como una forma de pensamiento abierto, con margen para la creatividad y el pensamiento divergente, que tiene un modo peculiar de integrar valores, hábitos, formas de razonamientos y expresión, y procesos tales como disciplinas mentales, racionalidad, habilidad para resolver problemas y el desarrollo de la intuición.

En este sentido el propósito de este artículo es explorar una de las tendencias mas fructífera de la investigación en educación matemática. Es decir, dilucidar de manera exploratoria hasta donde se ha avanzado respecto a la vinculación entre el desarrollo del pensamiento matemático divergente y la resolución de problemas. Específicamente se hace un análisis de algunos estudios recientes cuyos resultados indican que la implementación de técnicas heurísticas como alternativas didácticas coadyuvan a desarrollar algunas capacidades específicas de razonamiento matemático que antes se creían propias de superdotados. 

Algunos Postulados Teóricos de Resolución de Problemas y Pensamiento Divergente
La heurística es el arte de resolver problemas para la cual se estudian reglas, procedimientos, procesos mentales, etapas del razonamiento, de los cuales depende el éxito de los estudiantes en la construcción creativa de soluciones a problemas matemáticos por si mismo y el descubrimiento de vías optimas de solución. Así, la resolución de problemas involucra un proceso a través del cual el aprendiz descubre la manera de combinar reglas previamente aprendidas y aplicarlas en el tratamiento de situaciones nuevas (Ausubel, 1976).

Según Pappus (1966), la heurística trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones mentales útiles en el proceso. Así, planteándose una heurística divergente en matemática se puede lograr que el estudiante obtenga una mejor forma de llegar a la solución de un problema; y, además, se logra desarraigar al alumno de la tradicional enseñanza donde se siguen lineamientos rígidos que obstruyen la capacidad para crear, usar la imaginación e innovar ante un problema matemático.

Algunos especialistas que han investigado sobre el pensamiento, encuentran dos comportamientos diferentes en la manera como los individuos procesan la informacion, estas concepciones se pueden visualizar resumidas en la siguiente tabla.

Tabla. Tipos de pensamientos 

Años

Fuentes

Dicotomía

1950

J.P. Guilford

Convergente-Divergente

1958

E.C. Bartlett

Conclusivo-Emprendedor

1962

T. Bruner

Sinextrógiro-Dextrógiro

1963

N.H. Mackneth

Solución de problemas-Detección de problemas

1967

E. De Bono

Vertical-Lateral

Como escapa a la intencionalidad de este artículo la explicación de todas las dicotomías que aparecen en la tabla, se expondrá algunos elementos sobre la clasificación hecha por De Bono, (1991) por ser una de las concepciones en la que más se ha trabajado en los últimos años, dejando para futuras reflexiones las otras posiciones. Al respecto, De Bono distingue dos tipos de pensamientos: “Pensamiento vertical” y “pensamiento lateral” (divergente). El primero lo subdivide a su vez en natural, lógico y matemático. Establece que éstos no son excluyentes, cada uno tiene sus elementos distintivos y en el funcionamiento mental se complementan.

El pensamiento vertical ocurre en forma lineal, y es por tanto el orden su característica principal; cada etapa debe ser justificada y no es posible aceptar pasos equivocados. Este pensamiento utiliza sólo la información relevante, el patrón está basado en la corrección y el proceso es analítico. Las intromisiones aleatorias no tienen cabidas, lo importante es seguir la ruta que tiene mayor posibilidad de ocurrencia mediante un proceso inflexible y finito. 

El otro tipo de pensamiento señalado por De Bono es el lateral o creativo, en el cual la información disponible se organiza de manera no convencional, y genera arreglos que se salen de los diseños establecidos. El aflorar de éste pensamiento se logra mediante un proceso deliberado y generador, en el cual la información se combina de diferentes maneras, haciendo uso de penetradores que abren nuevos caminos o cambian los existentes. El pensamiento lateral puede ocurrir por saltos y considera ideas irrelevantes, es variado antes que correcto, permite explorar rutas que tienen menos posibilidades de ocurrir y facilita el uso de variedad de información. En su naturaleza es un proceso probabilístico en el cual tiene cabida el azar. 

En este sentido se puede afirmar que uno de los aportes científicos más relevantes de De Bono, es la definición, estructuración y sistematización del pensamiento lateral. Él autor plantea: 
“El pensamiento lateral es una actitud mental y también una cantidad de métodos definidos. La actitud mental implica la disponibilidad para tratar de mirar las cosas de diferentes maneras. Implica una apreciación de que cualquier manera de mirar las cosas es sólo una entre muchas. Implica una comprensión de cómo usa la mente los esquemas para poder pasar a otro mejor”.( De Bono, 1991, p. 29)

Estas reflexiones constituyen algunas ideas generales de la sustentación teórica, desde lo cognitivo, sobre la necesidad de estimular el pensamiento creativo, ya que forma parte importante del pensar. Una última observación en relación con el pensamiento y su estimulación, es que, como afirma la Psicología, quien piensa es la persona como una totalidad. Por tanto, se asocian más cercanamente al pensamiento creativo algunas características personológicas, como: fluidez, flexibilidad, elaboración, originalidad, sensibilidad ante los problemas y su capacidad de redefinición.

Sobre el pensamiento matemático divergente se puede hacer un abordaje relativo a la teoría del aprendizaje heurístico vinculado con la indagación, el cual es el siguiente: El descubrimiento y la comprensión de las estructuras y las relaciones de las cosas forman parte del proceso creativo que hace representar la realidad con modelos matemáticos. Así, para producir algo matemáticamente creativo o divergente se hace indispensable ciertamente la actitud crítica y el descubrimiento activo, pero además, la transformación de la cosa real en algo nuevo; una representación manipulable matemáticamente, que permita nuevas comprensiones, descubrimientos y transformaciones simuladas de esa realidad.

Así, matemáticamente lo heurístico engloba el proceso creativo, sus consecuencias y su significación científica. Lo heurístico es condición necesaria para la construcción de una ciencia preocupada por lo verdadero, por lo que no está dado en las apariencias, sino en las estructuras de las cosas (Acosta, 1997, p. 125). En consecuencia, se puede coincidir con Acosta en que en la actividad heurística hay pensamiento matemático divergente. 

La Vinculación Resolución de Problemas- Pensamiento Divergente
Generalmente, a nivel escolar se piensa que en matemática hay caminos únicos para hacer las cosas. Así, lo han enseñado los maestros y profesores, y así lo aprenden los alumnos. Por ejemplo, una frase muy común en el ambiente de aula, cuando se quiere introducir una nueva vía operacional, es la siguiente: “La profesora nos dijo que esto se hace siempre de esta forma”. 

Este es un argumento concluyente para cerrar el paso a otra alternativa y constituye una limitante para la solución de problemas. Es decir, la tradición didáctica parece promover en los alumnos la creencia que para cada problema hay un único camino. Pero esto no es así, ni lo ha sido nunca en la historia de la matemática razón por la cual esta es una de los campos del conocimiento con mayor riqueza de posibilidades. 

Así, para romper este esquema se requiere considerar que hay una unidad en la disciplina, pero también muchas maneras de pensar y representar el problema y por tanto son muchas las posibilidades de encontrar una solución. ¿Qué significa esto en concreto? Significa que pueden existir diversos sistemas para representar un concepto, diversos procedimientos o algoritmos para hacer operaciones, diversas formas de resolver un mismo problema, diversas vías para demostrar una proposición matemática. 

En fin, diversas formas de expresar la solución a un problema en lenguaje matemático lo que significa aceptar la existencia de un pensamiento matemático divergente. Este hecho ha sido del interés de los investigadores y estudios recientes señalan una vinculación directa entre el pensamiento divergente y la capacidad de resolución de problemas

Al respecto, cabe destacar las investigaciones realizadas por Piña y Rodríguez (2004), quienes hacen énfasis a este tipo de problemática en la enseñanza de la matemática y afirman en su investigación que el sistema tradicional de enseñanza y el aprendizaje de la matemática le coarta la libertad al alumno de desarrollar su pensamiento de una forma no lineal y, es por ello, que proponen en su investigación buscar, a través de la resolución de problemas, que el estudiante desarrolle su creatividad matemática al máximo. 

Una habilidad esencial para entender y explicar la realidad mediante la comprensión de estructuras, símbolos y la manipulación de objetos ideales que permiten construir diversas simulaciones, representaciones y operaciones mentales en isomorfismo con la naturaleza de los fenómenos observados. Los investigadores sugieren que de esta forma se puede desarraigar las creencias inhibidoras del pensamiento abierto de los alumnos y liberar los diferentes bloqueos presentes al momento de resolver problemas. 

En la misma tónica de indagación sobre la resolución de problemas desde una perspectiva mas pedagógica que psicológica, Villegas (2000) plantea en un estudio, que la estrategia heurística influye positivamente en el estudiante ya que lo ayuda a desarrollar su capacidad analítica, despierta su interés por la matemática y los orienta hacia la ejecución de la tarea, haciendo énfasis en el aprendizaje por sí mismos. En el mismo sentido, Vilanova y otros (2003) hacen referencia al papel de la resolución de problemas en el aprendizaje. 

Para ellos la resolución de problemas es un proceso que debe penetrar todo el diseño curricular y proveer el contexto en el cual los conceptos y las actitudes pueden ser aprendidos desde múltiples perspectivas. Además, por medio de esta estrategia el docente de matemática puede colocar al estudiante frente a una situación compleja, no estructurada, confusa, en la que él mismo debe sentirse interesado y comprometido a resolver sin caminos prescritos. Para ello, es necesario que identifique las componentes y analice críticamente el problema antes de llegar al establecimiento de las soluciones posibles y a la creación y ensayo de la solución personal. 

En fin, según la comunidad científica cuando los docentes tomen la iniciativa de conducir al estudiante a desarrollar su pensamiento matemático divergente el educador debe tener una actitud transformadora y un deseo de cambio en la enseñanza de la matemática, minimizando el martilleo de la ejercitación repetitiva de procedimientos y operaciones. 

El docente debe generar auto confianza en el potencial creador del alumno, en la habilidad del aprendiz para crear soluciones individuales, y en la naturaleza matemática del razonamiento humano; induciendo al estudiante a resolver problemas por diferentes vías, representaciones y perspectivas. También, debe propiciar que tengan un interés genuino ante situaciones problemáticas, identifiquen tanto lo que saben como lo que no saben y evitar la construcción sistemática de compartimientos estancos, en los que los conocimientos matemáticos queden aislados unos de otros. 

Además, es prioritario inducir a que los estudiantes formulen soluciones alternativas, seleccionen aquellas que sean las más apropiadas y luego las expongan críticamente para aprender a seleccionar el pensamiento matemático divergente optimo. Todo esto, con la finalidad de que los educandos sean personas dotadas de iniciativas, creativos, pleno de recursos y confianza en ellos mismos, preparados para afrontar problemas personales, intrapersonales o de cualquier índole.

Al respecto vale destacar la sugerencia realizada por Cuevas (1995) en la cual propone que si se desea que los estudiantes sean innovadores, creadores y capaces de transmitir nuevas ideas, el docente debe tomar en consideración la creatividad en forma permanente estimulando y valorando el descubrimiento por irrelevante que parezca. 

CONCLUSIONES
De lo expuesto anteriormente, se puede conjeturar que como resultado de la actividad científica en educación matemática subyace implícitamente definido el constructo de pensamiento matemático divergente. Es necesario destacar que para desarrollar ese pensamiento matemático divergente en las escuelas y en el aula de clase se requiere vincular la enseñanza y el aprendizaje con actividades de descubrimiento colectivas y con atención al desarrollo de las habilidades heurísticas individuales. 

La literatura sugiere que el pensamiento matemática divergente puede ser obtenido por medio de las estrategias de resolución de problemas aplicando metacognicion no lineal; ya que esta estrategia le proporciona a los estudiantes oportunidades frecuentes para pensar creativamente conduciéndolos a cambios de actitudes y le permite guiar su solución de una manera que incluya generar preguntas relevantes acerca del problema, formular respuestas y organizar la información en un plan sistemático, evaluar soluciones tentativas y seleccionar acertadamente las posibilidades optimas de solución.

En general, si se toma en cuenta la evolución del pensamiento matemático en el educando, se podrá conjeturar que la “chispa” que inicia el proceso de aprendizaje de la matemática es la curiosidad o necesidad de resolver un problema, por la cual se debe considerar este principio natural como un instrumento didáctico en la enseñanza de la matemática.

Por último, se concluye que la enseñanza por resolución de problemas a través de la heurística divergente, la resolución de problemas, debe hacer énfasis en los procesos del pensamiento a fin de que el educando active y se divierta con su propia actividad mental y ejercite su creatividad con la manipulación de los objetos matemáticos y promoviendo las autorreflexiones sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Acosta, M. (1997) PSICOLOGÍA EDUCATIVA. Ediciones Almi C.A.

- De Bono, E. (1991). APRENDER A PENSAR. Editorial Paidós. México DF.

- DÍAZ, M. (2004). ÁRÉA DE MATEMÁTICA. ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO PEDAGÓGICO. Disponible en: http://www.mimedugob.pe/dinesst/documento/otp.matematica.pdf.

- Piña, I. y Rodríguez, I. (2004). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS: Una estrategia para el desarrollo del pensamiento divergente en alumnos del Séptimo Grado de Educación Básica.

- Rojas, N. (1995). ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS CREATIVAS APLICADAS POR EL DOCENTE DE LA PRIMERA ETAPA DE EDUCACIÓN BÁSICA EN EL ÁREA DE LENGUAJE. Valencia-Edo. Carabobo.

- Villegas, Z. (2000). EFECTO DE LA ESTRATEGIA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS ECUACIONES EN LOS ALUMNOS DEL SÉPTIMO GRADO DE LA U. E. “SAN GABRIEL ARCÁNGEL”. Valencia-Edo. Carabobo.

Vilanova, S., Rocerau, M., Valdez, G., Oliver, M., Vecino, S., Medina, P., Astiz, M., Álvarez, E. (2003). EL PAPEL DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL APRENDIZAJE.Disponible en: http://www.campus-oei.org/revista/de los/lectores/203vilanova.pdf

Universidad de Carabobo
Maestría en Educación Matemática

Valencia, Diciembre del 2005

AUTOR
Lic. Iliana Y. Rodríguez
Arbitrado: PhD. Cirilo Orozco Moret
e-mail:cirilotampa@hotmail.com

e-mail:ilianayrodriguez@hotmail.com



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