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Diseño Experimental del Campo de Temperaturas de un Vórtice en el Modelo de Laboratorio

Resumen: En las investigaciones científicas existen dos procedimientos fundamentales de recolección del material estadístico inicial para la obtención posterior del modelo matemático el experimento pasivo y el experimento activo.

Publicación enviada por MSc.Onelia de los Ángeles Cuba Guerra y Dr. Santiago E. Pérez Guerra.




 


Introducción
En las investigaciones científicas existen dos procedimientos fundamentales de recolección del material estadístico inicial para la obtención posterior del modelo matemático el experimento pasivo y el experimento activo.
El experimento pasivo consiste en la observación y registro de las variables de entrada y salida del proceso sin la intervención activa del investigador mientras que el experimento activo consiste en el registro de las variables del proceso después de introducirle perturbaciones premeditadas según un programa racionalmente establecido llamado matriz de planificación.
En este trabajo abordamos el problema de la obtención del campo de temperaturas de un vórtice libre convectivo a través de un diseño factorial con un plan de tercer grado con el objetivo de utilizar las ventajas que proporciona este método:

Ø Realizar un número mínimo de experimentos.
Ø La posibilidad de predecir los valores para aquellos estados que no fueran estudiados experimentalmente.

Desarrollo
En las investigaciones que se requiere realizar una gran cantidad de experimentos, una posibilidad de resolver esta tarea es construir un modelo matemático, para con su ayuda predecir los valores de las respuestas para aquellos estados que no fueron estudiados experimentalmente..
Seleccionar el modelo significa seleccionar el tipo de función, plantear su ecuación.
En particular, para dos factores, los polinomios tienen la forma:

Primer grado:                                                                          (1)

Segundo grado:                   (2)


El modelo debe ser suficientemente exacto, es decir, estar cercano a la dependencia real. Entonces se dice que éste es adecuado. En cada tarea concreta, el investigador escoge el modelo, lleva a cabo el experimento y después, por sus resultados, comprueba la adecuación del modelo.

La prueba de adecuación del modelo se realiza por el criterio estadístico de Fisher donde se comparan las varianzas del modelo y las varianzas del experimento..
Si todo es feliz, es decir, si el modelo es adecuado, aquí se termina el experimento. Si no, hay que seleccionar otro tipo de modelo con polinomios de mayor grado, entre los cuales los más frecuentes son las ecuaciones de segundo grado. 

Los planes de segundo grado se diferencian de los de primer grado, en que los factores varían no menos que en tres niveles. Estos planes exigen de un gran número de experimentos. 
Se ha demostrado que, completando el plan de dos niveles del experimento factorial total (EFT) con determinados puntos del espacio factorial, se puede obtener menor cantidad de experimentos, que el plan del tipo 3K. Estos planes se llaman de composición.
Si el modelo es no adecuado, entonces el plan se completa con puntos con asteriscos, los cuales se encuentran a la distancia del brazo con asterisco respecto al centro según los ejes de coordenadas.

Existen distintos tipos de planes de composición:
1. Los planes simétricos ortogonales.
2. Los planes simétricos rotatorios.
Los planes simétricos rotatorios tienen su forma muy específica de determinar los coeficientes del modelo, así como las varianzas para determinar la adecuación del modelo.
En los planes ortogonales y rotatorios, como su nombre, lo indica se utilizan las condiciones de ortogonalidad y rotatoriedad de los factores- columnas para deducir la ecuación para el cálculo de los brazos con  asterisco (a).
Los planes de segundo grado se utilizan cuando está claro que la dependencia del parámetro de optimización y de los factores no es lineal. Si el modelo escogido por un plan de segundo grado no es adecuado debido a que la curva buscada tiene más de un punto de inflexión se pueden utilizar planes de tercer grado. 

Los planes de tercer pueden ser de distintos tipos. El más general tiene la forma: 
               (3)  
Este tipo de plan se utiliza cuando la curva tiene una forma compleja, específicamente si tiene dos puntos de inflexión.
Existen también planes de tercer grado que cumplen las condiciones de ortogonalidad y rotatoriedad, lo cual sirve para determinar la matriz de planificación[ 1],[ 5] la que indica los puntos a medir y forma el determinante para calcular los coeficientes de la ecuación del modelo.

Obtención del campo de temperatura de un vórtice en el modelo de laboratorio a través de un experimento activo o diseño experimental.
Para el diseño del experimento inicialmente recopilamos cierta información acerca de los vórtices del tipo de huracanes. Esta información que tenemos nos dio una idea de la distribución de temperaturas en el vórtice, lo cual nos permitió determinar cuáles son los factores y cuál el parámetro de optimización de nuestro experimento.
Se consideraron en el modelo como factores la temperatura de la superficie del líquido (Ts ) y el ángulo de las ventanas laterales (a) La selección de estos parámetros también se basó en que estos son gobernables, independientes, sus regiones de variación son compatibles, no son ambiguos y se pueden determinar con la precisión requerida. Puesto que el campo de temperaturas varía también de acuerdo a las coordenadas r y z (radio del vórtice y altura, respectivamente) decidimos tomarlas también como factores y por cuanto, lo que deseábamos obtener es la temperatura en cada punto de nuestro campo, el parámetro de optimización de nuestro diseño es T. 
Conociendo previamente que la dependencia de la temperatura con la altura y el radio no era precisamente lineal, diseñamos planes de segundo grado simétricos ortogonales y simétricos rotatorios. Al realizar las pruebas de adecuación de los modelos con la realidad, éstos resultaron no adecuados, por eso diseñamos planes de tercer grado. Además como el parámetro a es constante para cada tipo de vórtice (desarrollado y poco desarrollado), y la temperatura de la superficie la mantuvimos constante, construimos un modelo de tercer grado con dos factores para cada tipo de vórtice. Así nuestro modelo tiene la forma siguiente:

(4) 

Construimos una matriz[1], que corresponde a un tipo de plan llamado: “Exacto, D-óptimo y Saturado” y en la instalación existente, realizamos las mediciones de temperaturas necesarias para la comprobación del diseño. Las temperaturas calculados por el modelo se obtuvieron en el ordenador.
Debido a la complejidad de la curva dividimos las zonas de estudios en dos intervalos. 
En la figura 3 se muestra el campo de temperatura obtenido con los modelos para el vórtice desarrollado en: 
El primer intervalo z = 0.05cm - 0.45cm y r = 0cm - 0.07cm
El segundo intervalo z = 0.05cm - 0.45cm y r = 0.07 - 0.16cm
Los modelos para cada intervalo son los siguientes: 

 (5)

                                                                                                                                                       (6)

Recordamos que x1 corresponde a la altura z y x2 corresponde al radio del vórtice r.

Figura 2 Dependencias de la temperatura con el radio(izquierda y con la altura(derecha) respectivamente para el vórtice desarrollado en el segundo intervalo, logrados por el modelo estadístico.

En las dependencias obtenidas por esta vía, como por el experimento tradicional la temperatura disminuye con el aumento de la altura y del radio del vórtice. Además también se observa la estratificación de la temperatura, los puntos de máxima temperatura que corresponden a los de máxima velocidad de las partículas del fluido, el enfriamiento del vórtice desarrollado debido al flujo de aire que penetra por la parte superior del vórtice.
Son muchas la coincidencias de los resultados obtenidos por esta vía y por la del experimento pasivo, hasta el punto que el error de la temperatura obtenido con el modelo estadístico con respecto al mencionado es de 0. 001 0 C. 


Figura 1 Dependencias de la temperatura con el radio(izquierda) y con la altura(derecha) respectivamente para el vórtice desarrollado en el primer intervalo, logrados por el modelo estadístico.

Observamos que existe una tendencia a la linealidad (fig.1) en la zona cercana al ojo cuando el vórtice es del tipo desarrollado, principalmente en la dependencia de la temperatura versus altura. Esto es propio de los sistemas organizados y estables.

Figura 3 Isotermas para el vórtice desarrollado, en el primer(izquierda) y segundo(derecha) intervalo logrados por el Modelo Estadístico

Observemos ahora los modelos estadísticos diseñados para el vórtice poco desarrollado:
(7)

(8)
La expresión de y3 en función de x1 y x2 representa el modelo del campo de temperatura para el intervalo de : z = 0.05cm – 0.45cm y r = 0cm – 0.04cm
La expresión de y4 en función de x1 y x2 representa el modelo del campo de temperatura para el intervalo de : z = 0.05cm – 0.45cm y r = 0.04cm –0.13 cm 

Figura 4 Dependencias de la temperatura con el radio(izquierda) y con la altura(derecha) respectivamente para el vórtice poco desarrollado en el primer intervalo, logrados por el modelo estadístico.

Figura 5 Dependencias de la temperatura con el radio(izquierda) y con la altura(derecha) respectivamente para el vórtice poco desarrollado en el segundo intervalo, logrados por el modelo estadístico.


En la figura 6 se muestran los resultados de los modelos matemáticos creados para el vórtice poco desarrollado. Se observa que la temperatura promedio, es decir , b0 es mayor que en el vórtice no desarrollado. La dependencia de la temperatura en el centro del vórtice , al igual que en el vórtice desarrollado, tiene cierta linealidad pero posee términos cuadráticos y cúbicos que son significativos.
Ya que encontramos cierta linealidad en los intervalos que corresponden a las zonas cercanas al centro de los vórtices, tanto desarrollado como poco desarrollado quisimos encontrar un modelo más sencillo que pudiera dar en cierta aproximación un resultado. Para ello se realizó un ajuste lineal con respecto a z en los resultados de los modelos anteriores. Los modelos tienen la forma siguiente para vórtice desarrollado y poco desarrollado respectivamente:

     (9) 
(10)
Los resultados gráficos de estos modelos se muestran en las figuras de la 7 a la 10


Figura 7 Dependencias de la temperatura con el radio(izquierda) y con la altura(derecha) respectivamente para el vórtice desarrollado en el primer intervalo, logrados por un ajuste lineal que se realizó para la altura z .

Figura 8 Comparación entre el modelo lineal(izquierda) respecto a la altura y el modelo cúbico(derecha) para el centro del vórtice desarrollado


Figura 9 Dependencias de la temperatura con el radio(izquierda) y con la altura(derecha) respectivamente para el vórtice poco desarrollado en el primer intervalo, logrados por un ajuste lineal que se realizó para la altura z .

Podemos inferir por los resultados gráficos que este modelo estadístico con un ajuste lineal en z nos sería muy útil por su sencillez ya que en muchos casos la exactitud pudiera satisfacer nuestras exigencias, en la obtención de un valor de temperatura dado en un punto del vórtice . 
.Figura 10 Comparación entre el modelo lineal(izquierda) respecto a la altura y el modelo cúbico(derecha) para el centro del vórtice poco desarrollado. 
Los resultados corroboran que esta aproximación lineal que construimos para la dependencia de z en la zona cercana al ojo del vórtice poco desarrollado nos satisface plenamente en caso de no necesitar una alta precisión en la obtención del campo de temperatura de este tipo de vórtice. 

Conclusiones:
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos podemos concluir que:
1. Los Modelos Estadísticos obtenidos son adecuados y comprueban algunas de las características de los vórtices libres convectivos: disminución de la temperatura con el aumento de la altura, que en el vórtice poco desarrollado las temperaturas son mayores en el centro del vórtice que en el desarrollado; debido al enfriamiento del “ojo” del vórtice desarrollado a causa de la penetración del aire frío por la parte superior central lo cual está en consonancia con los cambios en el campo térmico en dicho vórtice; y que la dependencia de la temperatura con el radio no es lineal, es cúbica, lo cual concuerda con la suposición hecha, luego de conocer la curva de velocidad. 
2. El modelo estadístico es una aproximación excelente en la determinación del campo de temperatura del vórtice libre convectivo, dentro de los intervalos señalados, con respecto a los datos obtenidos por el método tradicional, ya que los valores reportados por uno y por otro método en un mismo punto están dentro de los marcos de los errores calculados.
3. El modelo cuasilineal o semicuadrático, obtenido mediante el ajuste del modelo cúbico, se puede utilizar con buena aproximación para la determinación del campo de temperatura del vórtice libre convectivo.
4. Existe una tendencia a la linealidad en la zona cercana al ojo cuando el vórtice es del tipo desarrollado, principalmente en la dependencia de la temperatura con la altura. Esto es propio de los sistemas organizados y estables.
5. Existe una correspondencia entre el campo térmico y el campo dinámico de este tipo de
vórtice, ya que el sentido de las isotermas corresponde con las líneas de flujo del campo de velocidades. Se observa que el vórtice se alimenta de aire cargado de humedad al moverse pegado a la superficie del líquido desde la periferia hacia arriba para penetrar por la parte superior del vórtice.

Bibliografía:
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2. Burger J. M. A Mathematical Model Inlustrating the Theory of Turbulence. Adv. in Appl. Mech. Vol. No 1. 1948. Cotta Renato. M. Simulations and Beuchwarks in Thermals Fluids Sciences
3. Jain A. P. Matematicheskoe Modelirobannie Tropichesky Ciclonob. Gidrometeoizdat 1984. 
4. Kerry A.E. An Air - Sea Interaction Theory of Tropical Cyclone. Part I. And Part II- Steady – State. Mantitenance. J. Atm. Sci., Vol. 43, No 6, March 1986. 
5. López Planes.R. Diseño Estadístico de Experimentos. Ed. Cien. Tec. 1984
6. Martinenko O.G. Pérez Guerra S.E. Solodugin A.D. Cuba Guerra Onelia. Particularidades estructurales, Características Energéticas y Dinámicas del Modelo de Laboratorio de Vórtice Húmedo Convectivo del MIHMTF. Belarus. T1; Parte 2. P. 152-159. (en ruso). 1992.
7. Martínez F. Oganesian L S. Planificación y Realización de Experimentos en Termoenergética. Univ. Cam. 1988..
8. Pérez Guerra S. E. Cambios Estructurales Inducidos en Formaciones Vorticales por Variación de la Geometría y los Parámetros Térmicos Externos. Anales del Congreso Brasileño de Ing. Mec. Río de Janeiro. Dic. 1989. 
9. Preobrashenski. V. P. Mediciones Termotécnicas y Aparatos para efectuarlas. Moscú. Mir 1980.

Autores: 
Dr. Santiago E. Pérez Guerra.
Msc. Onelia de los A. Cuba Guerra.
e-mail: oneliacuba@ yahoo.com.mx



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