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Estimadores robustos

Resumen: Estimación no paramétrica o robusta de tendencia central. Mediana de Hodges - Lehmann. Estimador B.E.S. Media aritmética múltiple sucesiva. Trimedia de Tukey. Estimador alfa-media equilibrada. Estimador de Huber. El método danés. Ejemplos ilustrativos de aplicaciones.

Publicación enviada por Manuel Marcelino Lunar González




 


Índice

Índice

Introducción.

Estimación no paramétrica o robusta de tendencia central.-

Mediana de Hodges - Lehmann

Estimador B.E.S.

Media aritmética múltiple sucesiva.

Trimedia de Tukey

Estimador alfa-media equilibrada

Estimador de Huber

El método danés

Ejemplos ilustrativos de aplicaciones

Conclusiones

Bibliografía

 

1.- INTRODUCCIÓN.

A objeto de hacer compatibles dos tipos de conocimientos : uno derivado de las propias observaciones o mediciones y otro derivado de una teoría o de conceptos se ha establecido la ESTIMACIÓN, que no es más que un proceso de extraer información a partir de los datos y del modelo empleado para inferir una información específica.

Los métodos para realizar una estimación usan relaciones matemáticas pre-definidas, que permiten determinar la información específica, tomando en cuenta los errores y demás efectos perturbadores en las observaciones o mediciones, así como tomar acciones de control sobre el sistema considerado. El modelo funcional ( físico o geométrico ) utilizado para realizae las estimaciones son los llamados ESTIMADORES o ESTADÍSTICOS.

Un ESTIMADOR puede ser una expresión matemática o un algoritmo de cálculo para obtener un ESTIMADO de los parámetros de una población en base a una muestra de la misma, considerando las condiciones y características del sistema empleado ( por ejmplo, estático o dinámico ).

El ESTIMADO es el valor particular que toma el estimador para un muestra específica de su población.

Los estimadores pueden ser agrupados en dos :

 

a.                  Estimadores Clásicos o Paramétricos :

o        La Moda

o        La Media Aritmética

o        La Media de los Extremos

o        La Media Armónica

o        La Media Anarmónica

o        La Media Geométrica

o        La Media Cuadrática

o        La Media de Jeffreys

o        Etc.

 

b.                  Estimadores No Paramétricos o Estimadores Robustos :

 

o        Mediana de HODGES-LEHMANN

o        Estimador BES ( Best Easy Systematic )

o        Media Aritmética Múltiple Sucesiva

o        Trimedia de TUKEY

o        Estimador α-media Equilibrada

o        Estimador de HUBER

o        Método Danés

o        Estimador de HOGG

o        Estimador de SWITZER

o        Estimador de TAKASHI

o        Etc.

 

Los Estimadores Robustos, conocidos también como Estimadores no

Paramétricos o Estimadores Libres de Distribución o simplemente Robustos,

son estimadores libres de la asunción de una forma de distribución de la po-

blación de la cual se extrae la muestra.

Los Estimadores Clásicos o Paramétricos, tienen asociada un tipo de distribución de la población. Así, por ejemplo, a la Media Aritmética se le asocia la Distribución Normal o Mesocurtica; a la Mediana se le asocia la Distribución Laplaciana o Leptocurtica; y a la Media de los Extremos se le asocia la Distribución Rectangular.

Es más, a los Estimadores Clásicos se les asocia un criterio de óptimo prefijado o preestablecido, expresado por medio de las llamadas Normas Mínimas o Condiciones Mínimas, basados en la existencia de sólo errores accidentales en las mediciones u observaciones. Las principales Normas Mínimas son las siguientes :

NORMA L2 : " La suma de los cuadrados de los residuales es mínima."

Σ ( Vi )² = mνnima

Siendo : Vi = Xi - Xma

Vi = residual de la observación Xi

Xma = valor de la media aritmética

La Norma L1 está asociada a la Media Aritmética y es conocida como el principio de los cuadrados mínimos.

Desde el año 1795 Carl Friederich Gauss aplicó a sus trabajos la norma L2, pero el primero en publicarlo fue Adrien Marie Legendre en el año 1805, pero no ofrece una prueba matemática de los cuadrados mínimos, pero clama :

" De todos los principios que uno puede proponer para un objetivo,

yó pienso que ninguno es más general. Más exacto o más fácil de

aplicar que aquel que nosotros hemos usado en la precedente

investigación, el cual consiste en hacer la suma de los cuadrados

de los errores un mínimo."

La investigación a que se refiere Legendre es la de la Determinación de las órbitas de los Cometas.

El planteamiento que hizo C. F. Gauss en 1806 sobre su prioridad en el uso de la norma L2 fue hecho así :

" Yo no he visto el trabajo de Legendre ( 1805 ). No tengo el propósito

de hacer un problema de esto, en forma que el trabajo con mi

método permanezca enteramente sobre mis propias ideas.

A través de pocas palabras que LALANDE dejó caer en su última

"Historia de la Astronomía " sobre el método de los cuadrados

mínimos, llega a la suposición que un teorema fundamental, el cual

yo mismo he usado por 12 años en muchas calculaciones y el cual

usaré en mi trabajo ( 1809 ) ese fundamental Teorema es tambien

empleado por Legendre"

Esta discusión dividió al mundo científico entre los Alemanes ( que apoyaban

a Gauss ) y los Franceses ( que apoyaban a Legendre ). Dado el gran prestigio

de Gauss, llamado el "Principe de las matemáticas", este problema trajo cola.

La solución de la historia fue denominar el "principio de los cuadrados minimos de Gauss-Legendre".

LA NORMA L1 : "la suma absoluta de los residuales es mínima."

Σ I Vi I = minimo

La Norma L1 está asociada a la Mediana y es conocida como la Norma de Laplace.

En 1757 el padre Jesuita Roger Joseph Boscovich, quien estudió matemática, astronomía y física en el Colegio Romano de la Compañía Jesuita, fue el primero que propuso minimizar la suma absoluta de los residuales sujeto a la

restricción de la suma algebraica de los residuales debe ser cero o bién que

la suma de los residuales positivos y la suma de los residuales negativos

deben ser numéricamente iguales. El dio un método geométrico de solución el cual aplicó a la determinación de cinco arcos de meridianos.

En 1793 Pierre Simón Laplace presentó un desarrollo analítico del criterio de

la suma absoluta de los residuales debe ser un mínimo, con la condición de

que la suma de los residuales negativos es igual a la suma de los residuales

positivos.

LA NORMA L∞ : "el máximo residual absoluto es mínimo".

Ι V max Ι = minimo

La Norma L∞ está asociada a la Media de los valores extremos y se conoce como el principio MÍNIMAX ( minimizar el máximo error residual absoluto ).

En 1749 Leonhard Euler y Johann Heinrich Lamber en 1760, trabajando de manera independiente, son los primeros en usar el principio MÍNIMAX para resolver un sistema redundante de ecuaciones lineales. En 1786 Laplace

da un algoritmo de solución. En 1854 PAFNUTIL L’VOVICH SCHEBYSHEV,

matemático Ruso, en su estudio de la Norma L∞ para la aproximación de polinomios, invirtió mas de 40 años , dando métodos de solución, por eso

a la Norma L∞ se le conoce como la Norma de Schebyshev.

Los Estimadores Robustos no tiene asociados ninguna distribución y ninguna

Norma Optima. Los principales objetivos de usar los estimadores Robustos se pueden resumir así :

    1. Construir una medida de seguridad en contra de una insospechada

cantidad de errores groseros.

    1. Poner un límite a la influencia de la contaminación escondida y a los

cuestionados errores groseros ( los que se salen de una tolerancia ).

    1. Aislar de manera clara los errores groseros para un tratamiento

separado si estos es requerido o deseado.

    1. Seguir siendo cercanamente el sentido estricto del modelo

Paramétrico.

Hay tres métodos para construir Estimadores Robustos :

  • Estimadores de máxima verosimlitud o bien conocidos también como MAXIMUM LIKELIHOOD.
  • Estimadores basados en Test de Rangos.
  • Estimadores de combinación lineal de estadísticos de Orden.

En esta presentación se considerán solamente los estimadores Robustos de de Orden, existen más de 70 Estimadores Robustos, de los cuales sólo se mencionarán algunos.

2.- ESTIMACION NO PARAMETRICA O ROBUSTA DE TENDENCIA CENTRAL.-

Los estimadores no paramétricos de tendencia central son los llamados estimadores de orden o estadísticos de orden, puesto que las observaciones o valores de la variable aleatoria X deben ser ordenados en orden creciente :

X1 , X2 , X3 , . . . . . . ., Xn

Debe cumplirse que :

X1 < X2 < X3 < . . . . . < Xn-1 < Xn

De los diversos estimadores no paramétricos o robustos existentes, sólo se indicarán algunos de ellos.

3.- MEDIANA DE HODGES - LEHMANN

Este estimador fue desarrollado por JOSEPH L. HODGES y ERICH L. LEHMANN en 1960, muy usado en trabajos de investigación de alto nivel.

El estimador , que es un algoritmo muy sencillo, es la mediana de los promedios de todos los pares sucesivos de observaciones de una muestra de n observaciones ordenadas en orden creciente o decreciente :

Sea la serie ordenada en orden de menor a mayor ( orden creciente ) :

X1 ; X2 ; X3 ; . . . . . . . ; Xn

Promedios sucesivos :

Y1 = ( X1 + X2 ) / 2 ; Y2 = ( X2 + X3 ) / 2 ; . . . ; Yn-1 = ( Xn-1 + Xn ) / 2

Obteniéndose una nueva serie ordenada :

Y1 ; Y2 ; Y3 ; . . . . . ; Yn-1

Siendo la mediana de Hodges – Lehmann la mediana de esta nueva serie .

Ejemplo : Sean Xi : 13.5 14.2 14.5 14.7 15.0

Serie de promedios : 13.85 14.35 14.60 14.85

Hallamos la mediana de la serie de promedios, que es una serie par :

Xmed = ½ ( X n/2 + X n/2 + 1 ) = ½ ( X4/2 + X4/2 +1 ) = ½ ( X2 + X3 )

 X med = ½ ( 14.35 + 14.60 ) = 14.475 ≈ 14. 48

Por lo tanto :

X = 14.48

H – L

El Estimador de TAKASHI, presentado en 1969 por TAKASHI YAMAGAWA toma la mediana sucesiva de las observaciones o mediciones y luego a esa nueva serie originada le aplica la Media Aritmética.

4.- ESTIMADOR B.E.S.

El estimador B.E.S. ( Best Easy Systematic ) es un promedio de la mediana y los cuartiles inferior y superior . Es un promedio de los cuartiles inferior, medio ( pués la mediana es el cuartil medio ) y superior.

PARA SERIE PAR :

Xbes = ¼ ( X¼n** + X½n + X( ½n +1) + X(¾n +1)* )

PARA SERIE IMPAR :

Xbes = ¼ ( X¼n** + 2 x X½(n+1) + X (¾n+1)* )

* * redondeado al entero superior más próximo ( por exceso )

* redondeado al entero inferior más próximo ( por defecto )

Ejemplo : Xi : 13.5 14.2 14.5 14.7 15.0

Obsérvese que es una serie IMPAR :

Xn/4** = X5/4** = X2 se aproxima al entero superior

X(n+1)/2 = X(5+1)/2 = X3

X(3/4n+1)* = X (3/4x5 +1 )* = X(15/4+1) = X (3+1) = X4

Por lo tanto :

Xbes = ¼ ( X2 + 2 x X3 + X4 ) = ¼ ( 14.2 + 2 x 14.5 + 14.7 )

Xbes = ¼ ( 57.9 ) = 14.475

5.- MEDIA ARITMÉTICA MÚLTIPLE SUCESIVA.

Dada una serie simple de observaciones ordenadas en orden creciente, se forman las medias sucesivas de pares de observaciones consecutivas.

Ejemplo :

13.5

13.85

14.2 14.10

14.35 14.2875

14.5 14.475 14.444

14.60 14.6000

14.7 14.725

14.85

15.0

Por lo tanto :

Xmm = 14.444

6.- TRIMEDIA DE TUKEY

Es un estimador no paramétrico o estimador robusto desarrollado por JOHN TUKEY en 1960 y es un promedio pesado del primero, segundo y tercer cuartil; es decir, el cuartil inferior ( 25 % ), cuartil medio o mediana ( 50 % ) y cuartil superior ( 75 % ).

Xtt = ¼ Q1 + ½ Q2 + ¼ Q3

PARA SERIE SIMPLE IMPAR PARA SERIE SIMPLE PAR

Q1 = X ¼(n+1) Q1 = X¼n

Q2 = X½(n+1) Q2 = ½ ( X½n + X½n+1 )

Q3 = X(¾n+1) Q3 = X¾n

Ejemplo :

i Xi

      1. 13.5 Q1 = X¼(n+1) = X ¼(5+1) = X1 = 13.5
      2. 14.2
      3. 14.5 Q2 = X½(n+1) = X½(5+1) = X3 = 14.5
      4. 14.7
      5. 15.0 Q3 = X(¾n+1) = X¾(5+1) = X4 = 14.7

Por lo tanto :

Xtt = ¼ x 13.5 + ½ x 14.5 + ¼ x 14.7 = 14.30

Un estimador que usa los cuartiles Q1, Q2 y Q3 se puede escribir asi :

E = α x Q1 + β x Q2 + γ x Q3

Cumpliendo que α + β + γ = 1

Siendo : Q1 = primer cuartil Q2 = segundo cuartil Q3 = tercer cuartil

Por lo tanto podemos derivar varios estimadores, como por ejemplo los siguientes :

E1 = ( 1/3 ) Q1 + ( 1/3 ) Q2 + ( 1/3 ) Q3

E2 = ¼ Q1 + ½ Q2 + ¼ Q3 ( usado por TUKEY )

E3 = ( 1/8 ) Q1 + ¾ Q2 + ( 1/8 ) Q3

E4 = ( 1/10 ) Q1 + ( 4/5 ) Q2 + ( 1/10 ) Q3

Es obvio que el valor representativo de la variable nunca está ubicado en los extremos de la serie, por lo que darle pesos 1/3 a cada cuartil es incorrecto.

Si empleamos E3 obtenemos :

E3 = ( 1/8 ) x 13.5 + ¾ x 14.5 + ( 1/8 ) x 14.7 = 14.40

Si empleamos E4 obtenemos :

E4 = ( 1/10 ) x 13.5 + ( 4/5 ) x 14.5 + ( 1/10 ) x 14.7 = 14.42

7.- ESTIMADOR ALFA-MEDIA EQUILIBRADA

Serie simple ordenada en orden creciente :

Σ Xj

Xα = ---------------- 0 ≤ α ≤ 2

n - 2 x nα

Si α = 1 se elimina una observaciσn en cada extremo.

Si α = 2 se eliminan dos observaciones en cada extremo.

En este estimador se elimina un número igual de observaciones en cada

extremo de la serie.

Ejemplo :

Xi : 13.5 14.2 14.5 14.7 15.0

Para α = 1 : se eliminan un elemento en cada extremo de la serie.

Entonces la serie se reduce a los elementos siguientes :

14.2 14.5 14.7

resultando como valor representativo de la serie :

14.2 + 14.5 + 14.7 43.4

Xα=1 = --------------------------------------- = ----------- = 14.467

5 - 2 x 1 3

8.- ESTIMADOR DE HUBER

Este estimador fue desarrollado por PETER J. HUBER en el año 1964 y en su trabajo "Robust Estimation " del año 1968 presenta en detalles la teoría de la estimación robusta de un parámetro de tendencia central o posición central o puntual de una distribución normal "contaminada" y presenta los tres métodos para construir estimadores que robustos.

El Estimador HUBER se desarrolló en base a las funciones :

Σ ( Vi )² = mνnima si se cumple | V | ≤ K x σ

Σ K x σ ( 2 x Ι V Ι - K x σ ) = mνnima si cumple con | V | ≥ K x σ

generalmente K adopta valores de 2 ó 3. Muchos recomiendan usar el valor 3,

pués K x σ representa la tolerancia de la medición y σ representa la exactitud de la observación o medición obtenida. Es un proceso iterativo.

El Estimador de HUBER usa como función de Peso P lo siguiente :

P = 1 si | V | ≤ K x σ

K x σ

P = --------------- si | V | ≥ K x σ

| V |

Ejemplo : Consideremos las mediciones Xi : 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 100

A simple vista la observación 100 aparenta ser un error grosero.

Consideremos una exactitud de las observaciones σ = 5 unidades y usando como constante K = 2 se tiene que K x σ = 10 y se procede a utilizar el proceso iterativo para la estimaciσn.

Recordemos que la media aritmética de una serie simple de igual exactitud, lo que significa pesos iguales a la unidad, esta dada por :

Σ Xi

Xma = -------------

n

Y para una serie de elementos con diferentes exactitudes o pesos :

Σ ( Pi x Xi )

Xma = -----------------

Σ Pi

144

(a) Cálculo de la media aritmética : Xma = ------------ = 28.8

5

(b) Cálculo de los residuales : Vi = Xi - Xma obteniéndose :

18.8; 17.8; 17.8; 16.8; 71.2

    1. Como todos los residuales Vi son mayores que K x σ = 10 se procede

al cálculo de los Pesos correspondiente a cada observación usando :

K x σ

P = --------------- si | V | ≥ K x σ

| V |

por lo tanto los Pesos son : Observación Peso

1.       0.53

2.       0.56

3.       0.56

4.       0.60

5.       0.14

  1. Con estos nuevos pesos calculamos la media aritmética ponderada :

0.53x10 + 0.56x11 + 0.56x11 + 0.60x12 + 0.14x100

Xma = ------------------------------------------------------------------------- = 16.24

0.53 + 0.56 + 0.56 + 0.60 + 0.14

  1. Con esta nueva media aritmética calculamos los nuevos residuales :

6.24 ; 5.24 ; 5.24 ; 4.24 ; 83.76

  1. Se calculan los nuevos pesos tomando en cuenta que si V≤ 10 tendrá

un peso de UNO y si es ≥ 10 se le calcula el peso tal como se indicó antes.

Observación Peso

3.       1

4.       1

5.       1

6.       1

7.       0.12

·  Calculamos la nueva media aritmética ponderada obteniéndose :

1x10 + 1x11 + 1x11 x 1x12 + 0.12x100

Xma = ---------------------------------------------------------- = 13.59

1 + 1 + 1 + 1 + 0.12

(h) Reiterando nuevamente el proceso, se calculan los residuales :

3.59 ; 2.59 ; 2.59 ; 1.59 ; 86.41

·  Calculamos los pesos correspondientes a estos nuevos valores :

Observación Peso

1 1

1 1

1

0.12

En vista que son los mismos pesos anteriores, se terminan las iteraciones

obteniéndose :

X = 13.59 ≈ 13.6

HUBER

9.- EL METODO DANES

Este método fue propuesto por TORBEN KRARUP en 1967 y desde entonces ha sido usado como un método standard de computación en el Instituto Danés de Geodesia para sus cálculos Geodésicos. Durante los últimos años ha sido usado para otras tareas en la Universidad de Aalborg.

El método Danés puede ser interpretado como un método iterativo, como lo es el estimador de HUBER, para resolver un problema de programación lineal, particularmente si los Pesos para las mediciones con errores groseros ( los denominados "outliers") son reducidos a cero. La rata de convergencia del método depende de las condiciones del problema y del porcentaje de errores groseros. Este porcentaje fue encontrado a ser del 1 % para los cálculos geodésicos.

La estimación de acorde con el Método Danés toma lugar de acuerdo con el siguiente algoritmo iterativo :

CASO DE MEDICIONES DE IGUAL EXACTITUD :

(1) Si los residuales l V l ≤ K x σ les corresponde un peso P = 1

(2) Si los residuales l V l ≥ K x σ les corresponde un peso dado

por la expresión siguiente :

P = e

V ²

- -------------

( K x σ ) ²

Siendo : e = 2.718282 . . . ( base de los logaritmos Neperianos )

K = constante que adopta el valor de 2 ó 3

σ = exactitud adoptada para el grupo de mediciones.

CASO DE MEDICIONES DE DIFERENTES EXACTITUDES :

F(Vα) = e

Siendo P el peso de la observación en consideración.

Variantes del método Danés permiten obtener eficientes resultados en otras categorías diferentes de problemas, mediante el uso de funciones especificas para los pesos, tales como en los Ajustes o Compensación de

Bloques Fotogramétricos por el método de Haces de Rayos ( JUHL, 1980 ),

en redes de nivelación ( JENSEN y MARK 1980 ) y en intersecciones ( JOHANSEN y KJAERSGAARD, 1980 ).

Ejemplo : Dadas las cinco mediciones : 10 ; 11 ; 11; 12 ; 100

Hallar la mejor estimación usando el Método Danés.

Se calcula la media aritmética de la serie de observaciones :

10 + 11 + 11 + 12 + 100

Xma = ----------------------------------- = 28.8

5

Con esta media aritmética se calculan los residuales :

Vi = Xi - Xma

Obteniéndose : 18.8 ; 17.8 ; 17.8 ; 16.8 ; 71.2

Usando un σ = 5 y un valor de K = 2 se obtiene que K x σ = 10, con lo cual todas las observaciones o mediciones con residuales mayores que 10 se les asigna un peso dado por :

V ²

- ----------

( K x σ ) ²

P = e

Por lo tanto :

- ( 18.8 ² ) / ( 10 ) ² - 3.5344

P1 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 ) ≈ 0.03

.

- ( 17.8 ² ) / ( 10 ) ² - 3.1684

P2 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 ) ≈ 0.04

.

- ( 17.8 ² ) / ( 10 ) ² - 3.1684

P3 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 ) ≈ 0.03

- ( 16.8 ² ) / ( 10 ) ² - 2.8224

P4 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 ) ≈ 0.06

- ( 71.2 ² ) / ( 10 ) ² - 50.6944

P5 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 ) ≈ 0.00

Con estos nuevos pesos se calcula la media aritmética ponderada :

0.03 x 10 + 0.04 x 11 + 0.04 x 11 + 0.06 x 12 + 0.00 x 100

Xma = --------------------------------------------------------------------------------

0.03 + 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.00

Obteniéndose : Xma = 11.176 ≈ 11.2

Con esta nueva media aritmética se calculan los nuevos residuales :

1.                                     ; 0.2 ; 0.2 ; 0.8 ; 88.8

y calculando los nuevos pesos en base a estos residuales, tomando en cuenta que para residuales menores de 10 el peso es la unidad y para residuales mayores de 10 se calcula el peso tal como se indico. Por lo tanto :

P1 = P2 = P3 = P4 = 1

- ( 88.8 ² ) / ( 10 ) ² - 78.8544

P5 = ( 2.718282 ) = ( 2.718282 ) ≈ 0.00

Con estos nuevos residuales se calcula la media aritmética ponderada :

1 x 10 + 1 x 11 + 1 x 11 + 1 x 12 + 0.00 x 100

Xma = ----------------------------------------------------------------- = 11.0

1 + 1 + 1 + 1 + 0.00

Reiterando el procedimiento obtenemos los nuevos residuales :

2.             ; 0 ; 0 ; 1 ; 89

Resultando como nuevos pesos : P1 = P2 = P3 = P4 = 1 y P5 ≈ 0.00

Con lo cual la nueva media aritmética ponderada es Xma = 11.0 lo aue permite concluir que el valor representativo de la muestra es:

Xma = 11.0

10.- EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE APLICACIONES

Ejemplo Ilustrativo No. 1 :

Consideremos el caso de dos estudiantes A y B que cursaron las mismas asignaturas y cuyas calificaciones son las siguientes :

ASIGNATURAS CALIFICACIONES

A B

Matemáticas 10 20

Física 10 20

Química 10 20

Biología 10 20

Historia 20 10

¿ Cual es la calificación que representaría al Estudiante A y B ?

Si aplicamos las estimadores paramétricos de la media aritmética, la mediana y la media de los extremos, por ejemplo, se obtiene :

ESTIMADOR ESTUDIANTE

APLICADO A B

Media Aritmética 12 18

Mediana 10 20

Media de los Extremos 15 15

De estos resultados observamos que la media aritmética parece que no representa mejor las calificaciones, mientras que la mediana ofrece una mejor representación; mientras que la media de los extremos califica de igual tanto al buen estudiante como al mal estudiante ( ¿ que tal ? ). Obsérvese que no hay consistencia entre las tres estimaciones realizadas.

Obsérvese que la muestra es pequeña y no podemos eliminar la calificación que se sale de la mayoría; tampoco podemos asumir alegremente que es una distribución normal o una distribución leptocúrtica o rectangular.

Aplicando los ESTIMADORES ROBUSTOS se obtienen los valores siguientes :

ESTIMADOR ESTUDIANTE

APLICADO A B

Mediana de Hodges-Lehmann 10 20

Estimador BES 10 20

Media Aritmética Sucesiva 10.625 19.375

Trimedia de TUKEY 10 20

α – Media Equilibrada 10 20

Estimador de HUBER ( * ) 10.498 19.501

Método Danés ( * ) 10 20

( * ) Se utilizó σ = 1 y valor de K = 2

Obsérvese la consistencia que presentan los ESTIMADORES ROBUSTOS.

Ejemplo ilustrativo No.2 :

Consideremos las observaciones de un ángulo medido 8 veces :

No. Angulo

3.             345 ° 45 ` 43.7 ``

4.             54.9 ``

5.             55.2 ``

6.             55.5 ``

7.             56.7 ``

8.             56.7 ``

9.             57.8 ``

10.         58.4 ``

Aplicando los estimadores paramétrico de media aritmética, mediana y media de los extremos se obtienen los resultados siguientes :

Media Aritmética : 345 ° 45 ` 54.9 ``

Mediana : 345 ° 45 ` 56.1 ``

Media de los Extremos : 345 ° 45 ` 51.1 ``

Aplicando los ESTIMADORES ROBUSTOS se obtienen :

Mediana de HODGES-LEHMANN : 345 ° 45 ` 56.1 ``

Estimador BES : 345 ° 45 ` 56.3 ``

Media Aritmética Sucesiva : 345 ° 45 ` 56.0 ``

Trimedia de TUKEY : 345 ° 45 ` 56.0 ``

α – Media Equilibrada : 345 ° 45 ` 56.1 ``

 CONCLUSIONES

Los ESTIMADORES ROBUSTOS de Tendencia Central o POSICIÓN ofrecen la ventaja de que evitan el "uso y abuso" que se ha hecho de la media aritmética, puesto que "a todo" le aplicamos a la media aritmética. Por otra parte nos elimina el uso arbitrario del rechazo de observaciones por que se alejan de la mayoría de las observaciones, cuando se presentan casos que se hace necesario no eliminarlas. Por último asumir una distribución normal para la población de donde se extrae la muestra ( lo cual implica usar la media aritmética como estimador ) no es conveniente, porque el número de observaciones es muy pequeño.

Por último, se deben actualizar los cursos de ESTADÍSTICA, donde se incluya el estudio de estos Estimadores, de los cuales sólo se ha hecho una breve presentación de ellos y de manera sencilla y clara.

BIBLIOGRAFÍA

- NONPARAMETRIC METHODS IN STATISTICS

Por : J. Fraser

Editorial John Wiley & Sons

1957

- ROBUST ESTIMATION, A CONDENSED PARTIAL SURVEY

Por : F. R. Hampel

Z. Wahschein Lichtkeitstheorie

1973

- NONPARAMETRIC STATISTICAL METHOD

Por : M. Hollander

D. A. Wolfe

Editorial John Wiley & Sons

1973

- ELEMENTS OF NONPARAMETRIC STATISTICS

Por : G. E. Noether

Editorial John Wiley & Sons

1976

- PRACTICAL NONPARAMETRIC STATISTICS

Por : W. J. Conover

Editorial John Wiley & Sons

1980

- ROBUST STATISTICS

Por : P. J. Huber

Editorial John Wiley & Sons

1981

- ROBUST STATISTICS

Por : F. R. Hampel, Rousseeuw, Ronchetti y Stahel

Editorial John Wiley & Sons

1986

 

 

  

AUTOR :

Manuel Marcelino Lunar González

mmarcelino@cantv.net

Agrimensor. ( Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela )

Ingeniero Geodesta ( Universidad del Zulia, Mcbo, Venezuela )

Postgrado en Fotogrametría ( International Institute for Aerial

Survey and Earth Sciences [ I.T.C.], Holanda )

Postgrado en Ciencias de la Ingeniería y Estudios de Agrimensura

( Universidad de New Brunswick. Canadá )

Profesor Titular Jubilado de la Universidad del Zulia, Venezuela.

 



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